Teste02a

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
12º Ano de Matemática – A
Tema I – Probabilidades e Combinatória
2º Teste de avaliação
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1. O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1. A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1. O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1. 2. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ S e B ⊂ S) Qual é o valor da probabilidade condicionada P (B) ? 3. Numa pequena república, o exame teórico de condução tem 20 perguntas e o candidato, para
ser aprovado, não pode falhar mais de 3. O senhor Raimundo, cidadão dessa república, tem andado a fazer testes e ultimamente a sua média é acertar 11 em cada 12 perguntas. Qual é em percentagem, aproximada às unidades, a probabilidade de ele passar no exame? 5. Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura
contemporânea. Um estudante pretende escrever-se em 6 disciplinas desse curso. Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
1. A Rita e a Joana são amigas e estão a jogar com dois dados diferentes: um tetraedro que
sorteia um número entre 1 e 4, e um octaedro que dá um número de 1 a 8. Lançam-se os dois dados e somam os números que saíram. Considere a variável X – número que, em cada jogada, é a soma dos valores saídos nos dois dados. 1.1. Construa uma tabela de distribuição de probabilidades para a variável X.
1.2. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Rita. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha a
2. Num tabuleiro quadrado, dividido em 9 pequenos quadrados, vão colocar-
2.1. De quantas maneiras podem ser colocadas as 9 peças?
2.2. Supondo que as peças são colocadas, ao acaso, determine a
probabilidade de uma diagonal ficar só com peças azuis? 3. Três casais, entre eles, o casal Silva, resolveram fazer uma viagem numa carrinha de seis
lugares, incluindo o condutor. Apenas o casal Silva não está habilitado a conduzir. A
disposição dos seis lugares na carrinha está esquematizado 3.1. De quantas maneiras os seis passageiros podem
ocupar os lugares durante a viagem, sabendo que cada 3.2. Chegados ao destino, pediram a um jovem que lhes tirasse uma fotografia. Para tal
Qual é a probabilidade de pelo menos os elementos de um dos casais não terem ficado juntos? Apresente o resultado em percentagem, arredondado às décimas. 4. Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,
verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com 10 lugares consecutivos em cada um delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente, cinco dos jovens irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma fila ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas? 5. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas
e as bolas com número par são brancas. 5.1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: “Retiram-se, ao
acaso, sucessivamente e com reposição, quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver alternância nas cores das quatro bolas extraídas?” Número de casos favoráveis: 2 (BVBV ou VBVB) Concorda com a resolução apresentada pela Joana? Caso não concorde, identifique o erro cometido, corrija-o e explique a razão da correção. 5.2. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, duas bolas, uma
após outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos: V: ”a primeira bola extraída é vermelha” B: ”a segunda bola extraída é branca” I: ”a soma dos números das bolas extraídas é um número ímpar” Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P (I| (V ∪ B)) . Numa pequena composição explique o raciocínio efetuado. COTAÇÕES DO GRUPOII
QUESTÃO
COTAÇÃO
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
12º Ano de Matemática – A
Tema I – Probabilidades e Combinatória
2º Teste de avaliação
1. (C) Das afirmações dadas é necessariamente verdadeira “A soma das probabilidades de dois
acontecimentos contrários é 1”, porque acontecimentos contrários são acontecimentos incompatíveis cuja reunião é o espaço de resultados. 2. (D) Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ S e B ⊂ S) Sabe-se que: P(A) = 0,3, P(A ∩ B) = 0,1 e P (A ∪ B) = 0,8 . O valor de P(B) é 0,4 porque P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e de acordo com os dados conseguimos concluir que 0,8 = 0,3 + P (B) − 0,1⇔ P(B) = 0,6 e como 3. (C) Numa pequena república, o exame teórico de condução tem 20 perguntas e o candidato,
para ser aprovado, não pode falhar mais de 3. O senhor Raimundo, cidadão dessa república, tem andado a fazer testes e ultimamente a sua média é acertar 11 em cada 12 perguntas. Em percentagem a probabilidade de ele passar no exame é 92% porque ,3) ≃ 0,92 e dá-nos a probabilidade de o senhor Raimundo errar no 4. (C) 2008
5. (D) Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura
contemporânea. Um estudante pretende escrever-se em 6 disciplinas desse curso. O número de escolhas que ele pode fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de literatura contemporânea é 3 número de maneiras de escolher 2 disciplinas de literatura contemporânea e as restantes 4 das 7 que não são de literatura contemporânea e 7C representa o número de maneiras de escolher 3 das 7 disciplinas que não são de literatura contemporânea e as 3 de literatura 1. A Rita e a Joana são amigas e estão a jogar com dois
dados diferentes: um tetraedro que sorteia um número de 1 a 4, e um octaedro que dá um número de 1 a 8. Lançam os dois dados e somam os números que saíram. Consideremos a variável X – número que, em cada jogada, é a soma dos valores saídos nos dois dados. 1.1. Vamos construir uma tabela de probabilidades, começando por construir uma tabela de
soma dos resultados nos dois dados e em seguida construir a tabela de distribuição das 1.2. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Rita. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha a
Joana. Chamemos A ao acontecimento “ganha a Rita” e B ao acontecimento “ganha a As duas amigas têm a mesma probabilidade de ganhar. 2. Num tabuleiro quadrado dividido em 9 pequenos quadrados vão colocar-se
2.1. O número de maneiras de colocar as 9 peças é 9C = 84 .
2.2. Supondo que as peças são colocadas, ao acaso, a probabilidade de
uma diagonal ficar só com peças azuis é tal que o nº de casos possíveis é 84 e o nº de casos favoráveis é 2 por termos exatamente 3 peças azuis e duas diagonais, para cada diagonal há apenas uma maneira de colocar as peças azuis. 3. Três casais, entre eles, o casal Silva, resolveram fazer uma
viagem numa carrinha de seis lugares, incluindo o condutor. Apenas o casal Silva não está habilitado a conduzir. A disposição dos seis lugares na carrinha está esquematizada 3.1. Considerando que temos os dois bancos lado a lado ligados o casal Silva podia ocupar 2
dos 3 pares de bancos e em cada um deles podiam trocar de posição podendo assim sentar-se de 4 maneiras, o segundo casal a sentar-se dispunha também ele de 2 bancos e podendo então sentar-se também de 4 maneiras diferentes, o último casal teria de ficar com o banco que sobra e sentar-se-ia de 2 maneiras diferentes. Então o número de maneiras de os seis passageiros ocuparem os lugares durante a viagem, sabendo que cada casal faz a viagem lado a lado e que só o casal Silva não pode conduzir é 3.2. Chegados ao destino, pediram a um jovem que lhes tirasse uma fotografia. Para tal
A probabilidade de pelo menos os elementos de um dos casais não terem ficado juntos é o contrário de todos os casais terem ficado juntos. ≃ 0,933 . A probabilidade pedida é 93,3% 4. Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,
verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com 10 lugares consecutivos em cada um delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente, cinco dos jovens irão ficar sem bilhete. Calculemos a probabilidade de uma fila ficar ocupada só com rapazes e a outra só com 5. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas
e as bolas com número par são brancas. 5.1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: “Retiram-se, ao
acaso, sucessivamente e com reposição, quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver alternância nas cores das quatro bolas extraídas?” Número de casos favoráveis: 2 (BVBV ou VBVB) A resolução apresentada pela Joana está incorreta. O erro está na contagem do número de casos favoráveis porque BVBV pode obter-se de 4 × 5 × 4 × 5 = 400 e VBVB pode obter- se de 5 × 4 × 5 × 4 = 400 . Assim há 800 casos favoráveis. Probabilidade pedida: 5.2. Considere a experiência aleatória que consiste em reitrar, ao acaso, duas bolas, uma
após outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos: V: ”a primeira bola extraída é vermelha” B: ”a segunda bola extraída é branca” I: ”a soma dos números das bolas extraídas é um número ímpar” Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, vamos indicar o valor de P (I| (V ∪ B)) é a probabilidade da soma 1 dos números das bolas extraídas ser um número ímpar, sabendo que o número da 11 12 13 14
10 11 12 13
9 10 11 12 13 14 15 16 17
Os casos favoráveis são apenas 20 resultantes da soma de ímpar com par. QUESTÃO
COTAÇÃO
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
12º Ano de Matemática – A
Tema I – Probabilidades e Combinatória
2º Teste de avaliação – Critérios de correcção
Grupo I (50 pontos)
Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Grupo II (150 pontos)
• Tabela de distribuição das probabilidades • Calcular o número de casos possíveis • Calcular o número de casos favoráveis • Calcular o número de casos possíveis • Calcular o número de casos favoráveis Total …………………………………………………………………………………………………

Source: http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/2011_2012/avaliacao/teste02A.pdf